unidad 4 derivadas
4.1 conceptos de incremento y de razón de cambio derivada de una función.
¿Que es el Incremento?
[El incremento D x de una variable x es el aumento o disminución que experimenta, desde un valor x = x 0 a otro x = x 1 de su campo de variación. Así, pues,
o bien
Si se da un incremento D x a la variable x , (es decir, si x pasa de x = x 0 a x = x 0 +D x ), la función y = f ( x ) se verá incrementada en D y = f ( x 0 + D x ) - f ( x 0 ) a partir del valor y = f ( x 0 ) . El cociente
recibe el nombre de cociente medio de incrementos de la función en el intervalo comprendido entre x = x 0 a x = x 0 + D x .
DEFINICIÓN DERAZÓN DE CAMBIO
El concepto de razón de cambio se refiere a la medida en la cual una variable se modifica con relación a otra. Se trata de la magnitud que compara dos variables a partir de sus unidades de cambio. En caso de que las variables no estén relacionadas, tendrán una razón de cambio igual a cero.
El concepto de derivada de una función matemática se halla íntimamente relacionado con la noción de límite. Así, la derivada se entiende como la variación que experimenta la función de forma instantánea, es decir, entre cada dos puntos de su dominio suficientemente próximos entre sí. La idea de instantaneidad que transmite la derivada posee múltiples aplicaciones en la descripción de los fenómenos científicos, tanto naturales como sociales.
Variación de una función
Dada una función f (x), se define variación de la función entre dos puntos de su dominio x1 y x2, siendo x1 < x2, a la diferencia f (x2) - f (x1). Cuando esta diferencia es positiva, la función es creciente en el punto; si es negativa, la función es decreciente.
Relacionada con este concepto, se llama variación media de una función f (x) en un intervalo [a, b] al cociente siguiente:
El valor de este cociente coincide con la pendiente de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (a, f (a)) y (b, f (b)).
Cuando los dos puntos del intervalo [a,b] están lo suficientemente próximos entre sí, el cociente anterior indica la variación instantánea de la función. En tal caso, el valor de b podría expresarse como b = a + h, siendo h un valor infinitamente pequeño.
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