2.8 FUNCIÓN INVERSA, FUNCIÓN LOGARITMICA Y FUNCIONES TRINOMETRICAS INVERSAS

Función inversa 
Sea f una función inyectiva. La inversa de f, simbolizada por f¯¹, es la única función que está definida en la imagen de f(y) verifica la igualdad
f(f¯¹(x))=x para todo x en la imagen de f.
FUNCIÓN LOGARITMICA
Una función logarítmica es una función f no constante, diferenciable, defnida en el conjunto de los números reales positivos, tal que para todo a>0 y b>0

f(ab)= f(a)+f(b).

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS
Son necesarias para calcular los ángulos de un triangulo a partir de lamedición de sus lados ,aparecen con frecuencia en las soluciones deecuaciones diferenciales. Sin embargo ninguna de las 6 funciones trigonomètricas básicas tiene inversadebido a que son funciones periódicas y por lo tanto no son inyectivas perorestringiendo los dominios se puede hallar la inversa

EJEMPLO:
Es inyectiva. Hallar su inversa. f(x)= x³

Solucón: Sea y=f¯¹(x) y resolvamos la ecuación f(y)=x en y:

f(y)=x
y³=x
y= x¹´³

Sustituyendo y por f¯¹(x), obtenemos 
f¯¹(x) = x¹´³

La inversa de la función cubo es la raíz cúbica. las graficas de f(x)= x³ y f¯¹(x) = x¹´³ se muestran abajo:
La función f x = loga x , se lee logaritmo en base a de x, se puede definir como la inversa de f x = a x
Definición:
ejmplos:
La función f x = log2 x , es la inversa de f x = 2 x 
La función f x = log 3 x , es la inversa de f x = 3 x 
La función f x = log 7 x , es la inversa de f x = 7 x 
La función f x = log x , es la inversa de f x = 10 x , cuando no se escribe la base se asume que es base 10.
La función f x = ln x , es la inversa de f x = e x , la inversa de la función exponencial con base e se conoce como logaritmo natural. 

EJEMPLO:
Encontrar la gráfica de la inversa de la función exponencial f x = 3 x representada en la siguiente figura: 
Solución
Sabemos que la inversa de f x = 3 x es f-1 x = log 3 x . Para graficar f-1 x = log 3 x , ubiquemos algunos puntos en la gráfica y construyamos una tabla:
x | -1 0 1 2 3
f x = 3 x | 1 3 1 3 9 27
De la tabla anterior, obtenemos la tabla que corresponde a f - 1 partir de esta tabla, trazamos la gráfica correspondiente:
x |1 3 1 3 9 27
log 3 x | -1 0 1 2 3
Las tres funciones trigonométricas inversas usadas de manera común son:

1) Arcoseno: es la función inversa del seno del ángulo.

2) Arcocoseno: es la función inversa del coseno del ángulo.

3) Arcotangente: es la funcion inversa de la tangente del ángulo.
Gráficas de las funciones trigonométricas





Esta información es gracias a Alberto Camacho