2.2.1.- FUNCIÓN INYECTIVA.

FUNCIÓN INYECTIVA Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y), x = y. Ejemplo: f(x) = x2 del conjunto de los números naturales  a  es una función inyectiva. (Pero f(x) = x2 no es inyectiva cuando es desde el conjunto de enteros  (esto incluye números negativos) porque tienes por ejemplo f(2) = 4 y f(-2) = 4) Nota: inyectiva también se llama "uno a uno", pero esto se confunde porque suena un poco como si fuera biyectiva. Otras formas de definirse: Una función  f: " Xà Y", es inyectiva si a cada valor del conjunto "X" (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto "Y "(imagen) de "f", es decir a cada elemento del conjunto "Y" le corresponde un solo valor de "X"  tal que, en el conjunto "X" no puede haber dos o mas elementos que tengan la misma imagen. O dicho de otra manera: Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y) pertenecientes a la función, las y no se repiten.Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no. EJEMPLO 1 : Determinar si la siguiente función es o no inyectiva: f(x) = x2 – 2 Asignando valores a "x" y representándolos en la tabla resulta:  x  -3  -2 -1  0 1  2  3  f(x) 5  2  -1  -2  -1  2  5 :Donde su gráfica será EJEMPLO 2: Determinar si la siguiente función es o no inyectiva: g(x) = 1 – x3. Asignando valores a "x" y representándolos en la tabla resulta:  x  -3  -2 -1  0 1  2  3  f(x) 28  9  2  1  0  -7  -26 Donde su gráfica seráa: 2.2 FUNCIÓN SUPRAYECTIVA. FUNCIÓN SUPRAYECTIVA Una función f (de un conjunto A a otro B) es suprayectiva si para cada y en B, existe por lo menos un x en A que cumple f(x) = y, en otras palabras f es suprayectiva si y sólo si f(A) = B. Así que cada elemento de la imagen corresponde con un elemento del dominio por lo menos. Ejemplo: la función f(x) = 2x del conjunto de los números naturales  al de los números pares no negativos es sobreyectiva. Sin embargo, f(x) = 2x del conjunto de los números naturales  a  no es sobreyectiva, porque, por ejemplo, ningún elemento de  va al 3 por esta función. Otras formas de definirse: Una función f:  X à Y es sobreyectiva(epiyectiva, suprayectiva, suryectiva, exhaustiva o subyectiva), si esta aplicado sobre todo el codominiio, es decir , cuando a cada elemento  de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X" De manera complementaria: Funciones suprayectivas. Cuando el rango y el codomino son iguales la función es suprayectiva.  Ejemplo 1: Sean los conjuntos: A = {1,2,3} y  B = {2,4}  y la función  f = {(1,2), (2,2), (3,4)}  Gráficamente queda:  Al conjunto B = {2,4} se le llama codominio.  El rango de la función también es I = {2,4},.Como el codominio y el rango son iguales la función es SUPRAYECTIVA Ejemplo 2.  Sean los mismos conjuntos anteriores PERO con la función:  f = {(1,2), (2,2), (3,2)}.  Gráficamente El codomino B = {2, 4} El rango o imagen es: I = {2} Como el codominio y el rango NO son iguales la función es  2.2.3.- FUNCIÓN BIYECTIVA. ESTA INFORMACIÓN ES GRACIAS A Eduardo Alfonso Huerta Guzmán FUNCIÓN BIYECTIVA Una función f (del conjunto A al B) es biyectiva si, para cada y en B, hay exactamente un x en A que cumple que f(x) = y Alternativamente, f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva. Ejemplo: La función f(x) = x2 del conjunto de números reales positivos al mismo conjunto es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva. (Pero no desde el conjunto de todos los números reales porque podrías tener por ejemplo f(2)=4 y f(-2)=4) Otra forma de definirse: Una función f: X à Y, es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva(suprayectiva), es decir si todos los elementos  del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada y a acada elemento del conjunto  de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.  Funciones Biyectivas. Para que una función sea biyectiva se requiere  que sean al mismo tiempo inyectiva y suprayectiva.  Ejemplo 1.  La función f(x)=y = x-1 es al mismo tiempo, inyectiva y suprayectiva; por lo tanto es biyectiva. ESTA INFORMACIÓN ES GRACIAS A Eduardo Alfonso Huerta Guzmán