calculo diferencial14: octubre 2014

domingo, 19 de octubre de 2014

2.10 FUNCIÓN INPLICITA

Una función y(x) se llama implícita cuando está definida de la forma F(x, y) = 0 en lugar de la habitual.
Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región de

entre las variables x e y:

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_impl%C3%ADcita

2.9 Funciones con dominio en los números naturales y recorrido en los números reales: las sucesiones infinitas.

Una sucesión numérica es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales y cuyo recorrido está incluido en el conjunto de los números reales.

En símbolos:

s: lN ® lR / " n Î lN: s(n) = an

Es decir que:

- a1 es la imagen del número natural 1 por medio de la sucesión

1 ® s(1) = a1

- a2 es la imagen del número natural 2 por medio de la sucesión

2 ® s(2) = a2

3 ® s(3) = a3

De acuerdo con esta definición, cada elemento de una sucesión puede representarse como un par ordenado (n, s(n)) o bien (n, an). Por consiguiente, toda sucesión puede representarse gráficamente mediante un diagrama cartesiano.

ESTA INFORMACION ES GRACIAS A Gerardo Manuel Hernández de la Torre.

2.8 FUNCIÓN INVERSA, FUNCIÓN LOGARITMICA Y FUNCIONES TRINOMETRICAS INVERSAS

Función inversa
Sea f una función inyectiva. La inversa de f, simbolizada por f¯¹, es la única función que está definida en la imagen de f(y) verifica la igualdad
f(f¯¹(x))=x para todo x en la imagen de f.
FUNCIÓN LOGARITMICA
Una función logarítmica es una función f no constante, diferenciable, defnida en el conjunto de los números reales positivos, tal que para todo a>0 y b>0

f(ab)= f(a)+f(b).

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS
Son necesarias para calcular los ángulos de un triangulo a partir de lamedición de sus lados ,aparecen con frecuencia en las soluciones deecuaciones diferenciales. Sin embargo ninguna de las 6 funciones trigonomètricas básicas tiene inversadebido a que son funciones periódicas y por lo tanto no son inyectivas perorestringiendo los dominios se puede hallar la inversa

EJEMPLO:
Es inyectiva. Hallar su inversa. f(x)= x³

Solucón: Sea y=f¯¹(x) y resolvamos la ecuación f(y)=x en y:

f(y)=x
y³=x
y= x¹´³

Sustituyendo y por f¯¹(x), obtenemos
f¯¹(x) = x¹´³

La inversa de la función cubo es la raíz cúbica. las graficas de f(x)= x³ y f¯¹(x) = x¹´³ se muestran abajo:
La función f x = loga x , se lee logaritmo en base a de x, se puede definir como la inversa de f x = a x
Definición:
ejmplos:
La función f x = log2 x , es la inversa de f x = 2 x
La función f x = log 3 x , es la inversa de f x = 3 x
La función f x = log 7 x , es la inversa de f x = 7 x
La función f x = log x , es la inversa de f x = 10 x , cuando no se escribe la base se asume que es base 10.
La función f x = ln x , es la inversa de f x = e x , la inversa de la función exponencial con base e se conoce como logaritmo natural.

EJEMPLO:
Encontrar la gráfica de la inversa de la función exponencial f x = 3 x representada en la siguiente figura:
Solución
Sabemos que la inversa de f x = 3 x es f-1 x = log 3 x . Para graficar f-1 x = log 3 x , ubiquemos algunos puntos en la gráfica y construyamos una tabla:
x | -1 0 1 2 3
f x = 3 x | 1 3 1 3 9 27
De la tabla anterior, obtenemos la tabla que corresponde a f - 1 partir de esta tabla, trazamos la gráfica correspondiente:
x |1 3 1 3 9 27
log 3 x | -1 0 1 2 3
Las tres funciones trigonométricas inversas usadas de manera común son:

1) Arcoseno: es la función inversa del seno del ángulo.

2) Arcocoseno: es la función inversa del coseno del ángulo.

3) Arcotangente: es la funcion inversa de la tangente del ángulo.
Gráficas de las funciones trigonométricas

Esta información es gracias a Alberto Camacho

2.7 Operaciones Con Funciones Funcion Adicion Funcion Multiplicacion Funcion Composicion

Función de Adición, Función de Multiplicación, Función de Composición

Al igual que en cualquier otra cantidad matemática, es posible realizar operaciones básicas en las funciones.

Es posible sumar dos funciones, restar dos funciones, multiplicar dos funciones, dividir dos funciones y también hacer composiciones unas con las otras.

La suma de dos funciones está denotada por g(x) y f(x) es g + f.

Consideremos dos funciones,

La suma de las dos funciones producirán una sola función como,

Ahora bien, el dominio de la función resultante será la intersección de los dominios de entrada de las funciones.

Para simplificar la tarea de la suma de dos funciones, sólo añada las salidas de estas dos funciones.

Por ejemplo, considere las dos funciones siguientes,

g(x) = x2 + 2 y,

f(x) = 4x – 1

Las dos funciones se pueden sumar como

(g + f) (x) = (x2 + 2) + (4x – 1) = x2 + 4x + 1

La suma de dos funciones puede entenderse como graficar una de las funciones y tomar la función de ese gráfico como el eje x de la otra función.

Al igual que se suman dos funciones, también es posible multiplicar dos funciones.

Esto es similar a la suma de dos funciones, simplemente en lugar de ser una operación de suma uno necesita realizar la función de multiplicación.

La salida de la multiplicación de dos funciones producirá,

El dominio de la función resultante será la intersección de los dominios de entrada de las funciones.

Como la suma de dos funciones, para llevar a cabo la multiplicación de dos funciones, uno simplemente tiene que multiplicar la salida de las dos funciones de entrada.

Tomemos como ejemplo la multiplicación de dos funciones,

g(x) = 3 √x y,

f(x) = √x

entonces, (g . f) (x) = (3 √x) . (√x)

La multiplicación de una función consigo misma se denota como,

f2(x) = f(x) . f(x)

también es posible multiplicar una función con cualquier cantidad escalar.

Esto es fácil de realizar, sólo multiplique cada una de las salidas con esa cantidad escalar.

La inserción de una de las funciones con otra función es llamada composición de la función.

De este modo, el rango de la función insertada se convertirá en el dominio de la función en la cual se insertó. También se conoce como la aplicación de una función sobre el resultado de otra función. Z es computar la salida de la función f(x) cuando la entrada de la función es f(x) y no x.à Y sobre la función f: Y àHablando en términos matemáticos, la composición de una función g: X

La composición de dos funciones siempre satisface la propiedad asociativa. Esto es, si consideramos tres funciones f, g, h. La composición de estas tres funciones,

f 0 (g 0 h) = (f 0 g) 0 h

Aquí el paréntesis es utilizado para indicar la prioridad mientras se realiza la composición de las funciones.

La composición de funciones es también conmutativa, esto es, g 0 f = f 0 g. Pero esto no es cierto en todos los casos.

La composición de dos funciones se denota como,

Tome como ejemplo,

g(x) = 2x + 3

f(x) = -x2 + 5

g(f(x)) = g(-x2 + 5)

= 2(-x2 + 5) + 3

= −2×2 + 10 + 3

http://www.mitecnologico.com/igestion/Main/OperacionesConFuncionesFuncionAdicionFuncionMultiplicacionFuncionComposicion

2.6.1 Valor absoluto

Valor absoluto de un números entero

El valor absoluto de un número enteroes el número natural que resulta al suprimir su signo.

El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.

|−5| = 5

|5| = 5

Valor absoluto de un número real

Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando espositivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.

|5| = 5 |-5 |= 5 |0| = 0

|x| = 2 x = −2 x = 2

|x|< 2 − 2< x < 2 x

(−2, 2 )

|x|> 2 x< −2 ó x>2 (−∞ , −2)

(2, +∞)

|x −2 |< 5 − 5 < x − 2 < 5

− 5 + 2 < x < 5 + 2 − 3 < x < 7

Propiedades del valor absoluto

1 Los números opuestos tienen igual valor absoluto.

|a| = |−a|

|5| = |−5| = 5

2El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

|a · b| = |a| ·|b|

|5 · (−2)| = |5| · |(−2)| |− 10| = |5| · |2| 10 = 10

3El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.

|a + b| ≤ |a| + |b|

|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)| |3| = |5| + |2| 3 ≤ 7

Función valor absoluto

Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

4 Representamos la función resultante.

http://www.ditutor.com/numeros_enteros/valor_absoluto.html

2.6 Funcion Definida Por Mas De Una Regla De Correspondencia

Función a trozos es un nombre más general para una función que puede ser definida con la ayuda de múltiples funciones de correspondencia.

Una función f: X → Y es llamada una función a trozos si puede ser definida con la ayuda de varias funciones lineales.

Podemos decir que tal función está definida en una serie de intervalos múltiples.

La notación general para definir una función a trozos es la siguiente,

Como se muestra en el ejemplo, punto y coma ócomas se utilizan al final de la columna.

Sin embargo, algunos los autores prefieren usar palabras como “si” o “para” en la columna derecha, y la palabra “ de lo contrario” también se puede utilizar para indicar el caso por defecto.

La gráfica de esta función también se divide en trozos, dependiendo del número de ecuaciones que se utilicen para definir la función.

Tal función es llamada de esta forma porque la definición de esta función cambia dependiendo del valor de la variable de entrada.

Aquí el uso de la palabra “a trozos” se hace para describir la propiedad de esa función, que es válida para una ecuación / pieza de la función pero no en todo el dominio de la función.

La función a trozos tiene una serie de funciones en su cuerpo, el dominio de cada una de ellas se define por separado. El gráfico del ejemplo dado previamente luciría de esta forma,

Es claro que el gráfico anterior contiene dos piezas separadas para indicar dos ecuaciones diferentes, por lo tanto representa la función como un todo.

Un caso especial de la función a trozos es la función piso que tiene un número infinito de piezas.

El valor absoluto de cualquier número es su distancia absoluta del cero, nunca es negativo dado que la distancia nunca es negativa.

A la luz de la afirmación anterior se puede decir que el valor absoluto de cualquier número es el número mismo hecho positivo.

La función de valor absoluto es generalmente una función par, ya que cualquier número y su equivalente negativo tienen los mismos valores absolutos.

Tal función es estrictamente decreciente en el intervalo (- ∞, 0] y estrictamente creciente en el intervalo [0, ∞).

El ejemplo ilustrado arriba es también una función de valor absoluto.

Todas las gráficas de las funciones de valor absoluto están en forma de letra “V”, ya seanrectas u oblicuas en función del valor de la variable.

Esto se debe a que un valor negativo en cada variable es igual en magnitud pero opuesto en su dirección.

Pero definitivamente no se puede llegar a la conclusión de que todas las funciones con forma de V son funciones de valor absoluto, esto es simplemente una probabilidad.

Graficar una función de valor absoluto es muy esencial para utilizar algunos valores negativos en la tabla T.

Esto se debe a que las funciones de valor absoluto se comportan algo diferente de otras funciones lineales.

Generalmente una función real de valor absoluto se comporta de forma continua en todos sus dominios.

También tal función sería diferenciable para todos los valores excepto el cero.

En el caso de una función de valor absoluto compleja, no hay diferenciación posible para alguno de sus valores. Sin embargo, es continua para el dominio completo.