jueves, 27 de noviembre de 2014

4.7 Derivadas De Orden Superior Y Regla L Hopital

Derivadas de Orden Superior y Regla de L’Hôspital

La derivada de cualquier función determina la tasa de variación en función de la función con respecto a la entrada de la función.

Este proceso de encontrar la derivada de una función se puede aplicar en una cascada muchas veces para encontrar las derivadas de orden superior de la función.

Por ejemplo, al diferenciar la derivada de primer orden de la función, uno obtendrá la derivada de segundo orden de la función y a través de la diferenciación de la derivada de segundo orden de la función obtendremos la derivada de tercer orden de la función y así sucesivamente.

En términos simples diferenciar la derivada de una función dará lugar a una derivada de la función de orden superior por un grado.

La derivada de primer orden de la función se representa como,

La derivada de segundo orden de una función se representa como,

La derivada de tercer orden de una función se representa como,

Y así sucesivamente. La derivada de segundo orden de la función también se conoce como “g doble prima de y”, donde g es la función en términos de y. De manera similar la derivada de tercer orden de una función también se conoce como “g triple prima de y”, etc. Las derivadas de orden superior de cualquier función pueden derivarse de esta forma hasta que la derivada obtenida es diferenciable en sí misma.

La derivada de segundo orden de una función f(x), que es todavía más diferenciable,

No es posible obtener una derivada de orden superior de la función si la derivada actual de la función

no es diferenciable. Para aclarar el concepto de las derivadas de orden superior eche un vistazo al ejemplo citado a continuación. f(x) = 4×3 + 9×2 – 3x + 4 La derivada de primer orden de esta función será,

f’(x) = 12×2 +18x – 3

Por la derivada anterior ser diferenciable es posible al diferenciarla nuevamente obtener la derivada de segundo orden de la función como, f’’(x) = f’(f’(x)) = 24x + 18

Al analizar la derivada de la función anterior se puede ver que esta puede ser aún más diferenciada. Por lo tanto la derivada de tercer orden de la función será,

f’’’(x) = f‘(f’(f’(x))) = 24

Ahora la derivada de cuarto orden de la función se obtiene,

f’’’(x) = f’(f‘(f’(f’(x)))) = 0

Como se puede observar ya no es posible diferenciar la función por más tiempo, por lo tanto detenemos el proceso de diferenciación aquí.

El ejemplo anterior también arroja luz sobre un hecho muy interesante, que es, si f(x) es un polinomio con n como el más alto grado entonces la derivada de mayor orden de tal función será n +1. Una diferencia muy interesante y diminuta entre la notación convencional de la potenciación y la diferenciación se explica más adelante,

f(2)(x)= f’’(x) f2(x) = [f(x)]2

Esta es, la presencia de paréntesis en el exponente denota una operación de diferenciación, mientras que su presencia en sí denota la operación de exponenciación.

La regla de L’Hôspital

La regla de L’Hôspital, también llamada regla de Bernoulli es una parte muy importante del cálculo. Se utiliza principalmente para encontrar las salidas de los límites cuando los límites son de forma intermedia; se utiliza principalmente para las derivadas de las funciones.

Esta regla se utiliza para transformar los límites intermedios en una forma determinada y por tanto, obtener la salida más conveniente.

La definición formal de L’Hôspital es, existen dos funciones f(x) y g(x). Ahora bien, si

  , además

es real, entonces de acuerdo a la regla del L’Hôspital,

http://mitecnologico.com/igestion/Main/DerivadasDeOrdenSuperiorYReglaLHopital

4.6 Fórmulas de derivación y fórmulas de diferenciación.

Formulas de Derivación
I dc = 0
La derivada de una constante es cero
II dx = 1
La derivada de una variable con respecto a si misma es la unidad.
III d ( u + v – w ) = du + dv - dw
La derivada de la suma algebraica de un numero finito n de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de las funciones
IV d ( cv ) =c. dv
La derivada del producto de una constante por una funcion es igual al producto de la constante por la derivada de la funcion
V d (uv) = u dv + v du

La derivada de un producto de dos funciones es igual al producto de la primera funcion por la derivada de la segunda, mas el producto de la segunda por la derivada de la primera.
VI d (un) = nun-1 du

La derivada de la potencia de una funcion de exponente constante es igual al producto del exponente por la funcion elevada a un exponente disminuido en una unidad y por la derivada de la funcion.
VIa d (xn ) = nxn - 1
Cuando v = x se convierte en la expresion anterior
VII d ( uv ) = v.du - u.dv.
v2 La derivada de un cociente de funciones es igual al producto del denominador por la derivada del numerador, menos el producto del numerador por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadrado del denominador
VIIa d ( u/c ) = du/ c
La derivada del cociente de una funcion dividida por una constante es igual a la derivada de la funcion dividida p

or la constante

'Fórmulas de Integración y Diferenciación'

https://sites.google.com/site/aprenderjojo/inicio/calculo-diferencia/unidad-4/46-frmulas-de-derivacin-y-frmulas-de-diferenciacin

miércoles, 26 de noviembre de 2014

4.5 Regla de la cadena

En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existecomposición de funciones

Demostración de la regla de la cadena

Sea

h\left(x\right) = \left(f \circ g\right)\left(x\right).

Esto es entonces

h\left(x\right) = f\left(g\left(x\right)\right).

Aplicando la definición de derivada se tiene

\frac {\text{d}h}{\text{d}x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{h(x + \Delta x) - h(x)}{\Delta x}.

Donde queda

= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(g(x + \Delta x)) - f(g(x))}{\Delta x}.

Equivalentemente, multiplicando y dividiendo entre

g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)

(esta demostración solo vale cuando

g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)

es distinto de cero , por ejemplo si g(x) fuera constante no se cumple)

= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(g(x + \Delta x)) - f(g(x))}{\Delta x} \cdot \frac{g(x+\Delta x)-g\left(x\right)}{g(x+\Delta x)-g\left(x\right)}.

= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(g(x + \Delta x)) - f(g(x))}{g(x+\Delta x)-g\left(x\right)} \cdot \frac{g(x+\Delta x)-g\left(x\right)}{\Delta x}.

= \frac{\text{d}f}{\text{d}g}\cdot\frac{\text{d}g}{\text{d}x}.

4.4 Propiedades de las Derivadas

Las derivadas forman una parte importante del cálculo.

Hablando en términos sencillos, la derivada es una medida de la tasa de variación de la salida de
una función así como varía la entrada de la función.

En base a la definición anterior está claro que la salida de la función es una función de la entrada de la función.

Las derivadas tienen algunas propiedades especiales que son importantes estudiar antes de saltar de lleno en el tema.

Puesto que estas propiedades resuelven los problemas de una manera mejor y más conveniente, con un mejor enfoque hacia el tema.

Algunas de las propiedades más importantes son las siguientes:

1. Si la función f(x): X → Y es diferenciable en un punto P, entonces se puede concluir que la función f(x) es continua en el punto p.

2. La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de las dos funciones tomadas individualmente. La misma regla aplica también para la resta de dos derivadas. Esta regla es más conocida por el nombre de la regla de la linealidad.

3. La derivada de la multiplicación de una cantidad escalar con una función es igual a cuando la cantidad escalar se multiplica a la derivada de la misma función.

4. La derivada de un número constante es siempre igual a cero.

5. La diferenciación de una variable con respecto a si misma producirá uno.

6. La derivada de la multiplicación de dos funciones es lo mismo que sumar la multiplicación de la primera función con la derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda función con la derivada de la primera función. Esta regla se conoce más comúnmente con el nombre de la regla del producto.

7. La derivada de una variable elevada a una potencia es igual a las veces de la potencia de la derivada de la misma variable elevada a una potencia reducida por uno. Esta regla es mejor conocida por el nombre de la regla de la potencia. Es esencial que n sea un número real para que la propiedad anterior sea cierta.

8. La derivada de la división de una función con alguna otra función es lo mismo que la división de la resta de la multiplicación de la primera función con la derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda función con la derivada de la primera función con el cuadrado de la segunda función. Aquí el valor de la función no debería ser igual a cero. Esta regla se conoce por el nombre de la regla del cociente.

9. La regla de la cadena es una propiedad bastante compleja y se utiliza para funciones compuestas; es decir una función que es impuesta sobre cualquier otra función. De dos funciones diferenciables g(x) y f(x) que haya en una función compuesta h(x) se define como,

h(x) = g(f(x)) = (g 0 f)(x)

Para la función anterior h(x) la derivada puede ser calculada usando la regla de la cadena de la siguiente forma,

La Regla de la cadena sólo puede ser usada cuando existen dependencias en cadena en una función, en otras palabras, para funciones compuestas. Observe un ejemplo resuelto con la regla de la potencia,

d(5x⁴)/dx = 5[d(x⁴)/dx]

= 5(4x⁴−1)

= 5(4x³)

= 204x³

El ejemplo anterior pone de manifiesto que el uso de la propiedad hace el problema mucho más simple de resolver.

http://mitecnologico.com/igestion/Main/PropiedadesDeLaDerivada

4.3 concepto de diferencial ,interpretación geométrica de las diferenciales.

EL CONCEPTO DE DIFERENCIAL

Existen muchas situaciones, dentro y fuera de las matemáticas, en que necesitamos estimar una diferencia, como por ejemplo en las aproximaciones de valores de funciones, en el cálculo de errores al efectuar mediciones (Valor real menos valor aproximado) o simplemente al calcular variaciones de la variable dependiente cuando la variable independiente varía "un poco", etc. Utilizando a la recta tangente como la mejor aproximación lineal a la función en las cercanías del punto de tangencia, aproximaremos esta DIFERENCIA con la diferencia sobre la recta tangente, a la que llamaremos EL DIFERENCIAL de la función en el punto.

DEFINICIÓN Y EJEMPLOS

Consideremos la siguiente ilustración en donde aproximamos a la función f por su recta tangente.

Interpretación geométrica

Geometricamente, ¿qué es la derivada de

en un punto

?
La diferencia

mide el incremento de la función

entre

, mientras que

mide el incremento de la variable. El cociente entre ambos incrementos $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ es precisamente la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función, entre los puntos

. En la siguiente gráfica podemos observar que ocurre cuando tomamos valores de la variable cada vez más proximos al punto

$\begin{picture}(300,200) \par \put(40,50){\line(1,0){110}} \put(50,40){\line(0,... ...(x_1)$} \multiput(50,115)(3,0){20}{$\cdot$} \put(130,130){$r_1$} \end{picture}$

$\begin{picture}(200,100) \par \put(40,50){\line(1,0){110}} \put(50,40){\line(0,... ...115)(3,0){20}{$\cdot$} \put(130,130){$r_1$} \put(128,103){$r_2$} \end{picture}$
El límite de las secantes conforme

tiende a

es la recta tangente a la gráfica en el punto

. Así pues el límite de las pendientes de las secantes es la pendiente de la tangente, y por tanto podemos interpretar

como la pendiente de la recta tangente en el punto

.
http://www.matap.uma.es/~garvin/05Ca04/node4.html

4.2 interpretación geométrica de la derivada.

La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.

Ello nos permite usar la siguiente fórmula para calcular la tangente a

en el punto de abcisa

$y-f(a) = f'(a) \cdot (x-a)$

Análogamente podemos obtener la recta normal (perpendicular):

$y-f(a) = \frac{-1}{f'(a)} \cdot (x-a)$

http://matematicasies.com/Interpretacion-geometrica-de-la

unidad 4 derivadas

4.1 conceptos de incremento y de razón de cambio derivada de una función.

¿Que es el Incremento?

[El incremento D x de una variable x es el aumento o disminución que experimenta, desde un valor x = x 0 a otro x = x 1 de su campo de variación. Así, pues,

o bien

Si se da un incremento D x a la variable x , (es decir, si x pasa de x = x 0 a x = x 0 +D x ), la función y = f ( x ) se verá incrementada en D y = f ( x 0 + D x ) - f ( x 0 ) a partir del valor y = f ( x 0 ) . El cociente

recibe el nombre de cociente medio de incrementos de la función en el intervalo comprendido entre x = x 0 a x = x 0 + D x .

DEFINICIÓN DERAZÓN DE CAMBIO

El concepto de razón de cambio se refiere a la medida en la cual una variable se modifica con relación a otra. Se trata de la magnitud que compara dos variables a partir de sus unidades de cambio. En caso de que las variables no estén relacionadas, tendrán una razón de cambio igual a cero.

Derivada de una función

El concepto de derivada de una función matemática se halla íntimamente relacionado con la noción de límite. Así, la derivada se entiende como la variación que experimenta la función de forma instantánea, es decir, entre cada dos puntos de su dominio suficientemente próximos entre sí. La idea de instantaneidad que transmite la derivada posee múltiples aplicaciones en la descripción de los fenómenos científicos, tanto naturales como sociales.

Variación de una función

Dada una función f (x), se define variación de la función entre dos puntos de su dominio x₁ y x₂, siendo x₁ < x₂, a la diferencia f (x₂) - f (x₁). Cuando esta diferencia es positiva, la función es creciente en el punto; si es negativa, la función es decreciente.

Relacionada con este concepto, se llama variación media de una función f (x) en un intervalo [a, b] al cociente siguiente:

El valor de este cociente coincide con la pendiente de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (a, f (a)) y (b, f (b)).

Cuando los dos puntos del intervalo [a,b] están lo suficientemente próximos entre sí, el cociente anterior indica la variación instantánea de la función. En tal caso, el valor de b podría expresarse como b = a + h, siendo h un valor infinitamente pequeño.

calculo diferencial14