4.4 Propiedades de las Derivadas

Las derivadas forman una parte importante del cálculo.

Hablando en términos sencillos, la derivada es una medida de la tasa de variación de la salida de 
una función así como varía la entrada de la función.

En base a la definición anterior está claro que la salida de la función es una función de la entrada de la función.

Las derivadas tienen algunas propiedades especiales que son importantes estudiar antes de saltar de lleno en el tema.

Puesto que estas propiedades resuelven los problemas de una manera mejor y más conveniente, con un mejor enfoque hacia el tema.

Algunas de las propiedades más importantes son las siguientes:

1. Si la función f(x): X → Y es diferenciable en un punto P, entonces se puede concluir que la función f(x) es continua en el punto p.

2. La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de las dos funciones tomadas individualmente. La misma regla aplica también para la resta de dos derivadas. Esta regla es más conocida por el nombre de la regla de la linealidad.

3. La derivada de la multiplicación de una cantidad escalar con una función es igual a cuando la cantidad escalar se multiplica a la derivada de la misma función.

4. La derivada de un número constante es siempre igual a cero.

5. La diferenciación de una variable con respecto a si misma producirá uno.

6. La derivada de la multiplicación de dos funciones es lo mismo que sumar la multiplicación de la primera función con la derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda función con la derivada de la primera función. Esta regla se conoce más comúnmente con el nombre de la regla del producto.

7. La derivada de una variable elevada a una potencia es igual a las veces de la potencia de la derivada de la misma variable elevada a una potencia reducida por uno. Esta regla es mejor conocida por el nombre de la regla de la potencia. Es esencial que n sea un número real para que la propiedad anterior sea cierta.

8. La derivada de la división de una función con alguna otra función es lo mismo que la división de la resta de la multiplicación de la primera función con la derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda función con la derivada de la primera función con el cuadrado de la segunda función. Aquí el valor de la función no debería ser igual a cero. Esta regla se conoce por el nombre de la regla del cociente.

9. La regla de la cadena es una propiedad bastante compleja y se utiliza para funciones compuestas; es decir una función que es impuesta sobre cualquier otra función. De dos funciones diferenciables g(x) y f(x) que haya en una función compuesta h(x) se define como,

h(x) = g(f(x)) = (g 0 f)(x)

Para la función anterior h(x) la derivada puede ser calculada usando la regla de la cadena de la siguiente forma,

La Regla de la cadena sólo puede ser usada cuando existen dependencias en cadena en una función, en otras palabras, para funciones compuestas. Observe un ejemplo resuelto con la regla de la potencia,

d(5x⁴)/dx = 5[d(x⁴)/dx]

= 5(4x⁴−1)

= 5(4x³)

= 204x³

El ejemplo anterior pone de manifiesto que el uso de la propiedad hace el problema mucho más simple de resolver.

http://mitecnologico.com/igestion/Main/PropiedadesDeLaDerivada

4.3 concepto de diferencial ,interpretación geométrica de las diferenciales.

EL CONCEPTO DE DIFERENCIAL


Existen muchas situaciones, dentro y fuera de las matemáticas, en que necesitamos estimar una diferencia, como por ejemplo en las aproximaciones de valores de funciones, en el cálculo de errores al efectuar mediciones (Valor real menos valor aproximado) o simplemente al calcular variaciones de la variable dependiente cuando la variable independiente varía "un poco", etc. Utilizando a la recta tangente como la mejor aproximación lineal a la función en las cercanías del punto de tangencia, aproximaremos esta DIFERENCIA con la diferencia sobre la recta tangente, a la que llamaremos EL DIFERENCIAL de la función en el punto.


DEFINICIÓN Y EJEMPLOS

Consideremos la siguiente ilustración en donde aproximamos a la función f por su recta tangente.

Interpretación geométrica

Geometricamente,  ¿qué es la derivada de  en un punto ?
La diferencia  mide el incremento de la función  entre  y , mientras que  mide el incremento de la variable. El cociente entre ambos incrementos  es precisamente la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función, entre los puntos  y . En la siguiente gráfica podemos observar que ocurre cuando tomamos valores de la variable cada vez más proximos al punto 





El límite de las secantes conforme  tiende a  es la recta tangente a la gráfica en el punto . Así pues el límite de las pendientes de las secantes es la pendiente de la tangente, y por tanto podemos interpretar  como la pendiente de la recta tangente en el punto .
http://www.matap.uma.es/~garvin/05Ca04/node4.html

4.2 interpretación geométrica de la derivada.

La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.

Ello nos permite usar la siguiente fórmula para calcular la tangente a  en el punto de abcisa :

 

Análogamente podemos obtener la recta normal (perpendicular):

http://matematicasies.com/Interpretacion-geometrica-de-la

unidad 4 derivadas

4.1 conceptos de incremento y de razón de cambio derivada de una función.

¿Que es el Incremento?

[El incremento D x de una variable x es el aumento o disminución que experimenta, desde un valor x = x 0 a otro x = x 1 de su campo de variación. Así, pues,

o bien

Si se da un incremento D x a la variable x , (es decir, si x pasa de x = x 0 a x = x 0 +D x ), la función y = f ( x ) se verá incrementada en D y = f ( x 0 + D x ) - f ( x 0 ) a partir del valor y = f ( x 0 ) . El cociente

recibe el nombre de cociente medio de incrementos de la función en el intervalo comprendido entre x = x 0 a x = x 0 + D x .

DEFINICIÓN DERAZÓN DE CAMBIO

El concepto de razón de cambio se refiere a la medida en la cual una variable se modifica con relación a otra. Se trata de la magnitud que compara dos variables a partir de sus unidades de cambio. En caso de que las variables no estén relacionadas, tendrán una razón de cambio igual a cero.

Derivada de una función

El concepto de derivada de una función matemática se halla íntimamente relacionado con la noción de límite. Así, la derivada se entiende como la variación que experimenta la función de forma instantánea, es decir, entre cada dos puntos de su dominio suficientemente próximos entre sí. La idea de instantaneidad que transmite la derivada posee múltiples aplicaciones en la descripción de los fenómenos científicos, tanto naturales como sociales.

Variación de una función

Dada una función f (x), se define variación de la función entre dos puntos de su dominio x₁ y x₂, siendo x₁ < x₂, a la diferencia f (x₂) - f (x₁). Cuando esta diferencia es positiva, la función es creciente en el punto; si es negativa, la función es decreciente.

Relacionada con este concepto, se llama variación media de una función f (x) en un intervalo [a, b] al cociente siguiente:

El valor de este cociente coincide con la pendiente de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (a, f (a)) y (b, f (b)).

Cuando los dos puntos del intervalo [a,b] están lo suficientemente próximos entre sí, el cociente anterior indica la variación instantánea de la función. En tal caso, el valor de b podría expresarse como b = a + h, siendo h un valor infinitamente pequeño.

http://www.hiru.com/matematicas/derivada-de-una-funcion

1

DERIVADAS.

4.1 Conceptos de incremento y de razón de cambio. La derivadade una función.

Se llama

incremento

al cambio de valor de una variable desde un valor inicial hasta unvalor final:

  



 



;

 

  



 



. Al valor de



y al valor de



se les conocetambién como cambio en

 x

e

 y

3.9 Tipos de discontinuidad



Las funciones que no son continuas pueden presentar diferentes tipos de discontinuidades.

Para empezar definiremos función no continua como aquella que no cumple la definición de función continua, es decir, existe algun punto del dominio donde el límite de la función a ese punto no es igual al valor de ésta en el mismo punto:

f(x) no es continua si existe un x=a perteneciente al Dom(f) tal que limx→a±f(x)≠f(a)

Veamos un ejemplo de función no continua:
Ejemplo


Tomemos la función f(x)={12 si si x≤0x>0.

Esta función no es continua ya que en el punto x=0 observamos que:
limx→0+f(x)=limx→02=2f(0)=1y como el límite lateral por la derecha no coincide con el valor de la función, deducimos que la función no puede ser continua. Podemos ver la representación gráfica a continuación:





Se tiene que tener en cuenta que se define una discontinuidad sobre puntos del dominio de una función. Si la función no estubiese definida en un punto, aunque tenga comportamiento parecido al de una discontinuidad, no tendría ninguna, ya no se podría aplicar la definición de discontinuidad.
Discontinuidad evitable


Una discontinuidad evitable en un punto x=a es aquella en que los límites laterales coinciden, pero el valor de la función en el punto no, es decir:
limx→a−f(x)=limx→a+=Lf(a)≠LEs razonable que llamen discontinuidad evitable a este tipo de discontinuidades ya que la función en el punto de discontinuidad parece que sea continua, pero el punto en concreto no existe, así que sólo añadiendo ese punto, lograríamos que la función fuera continua (se podría evitar la discontinuidad muy fácilmente).



Veamos un ejemplo:
Ejemplo


Tomemos la función
⎧⎩⎨⎪⎪x2−4x+20 si si x≠−2x=−2



Podemos ver rápidamente que en el punto x=−2 puede que la función no conecte correctamente. Observemos pues la continuidad en ese punto:
limx→−2−f(x)=limx→−2−x2−4x+2=limx→−2−(x+2)(x−2)x+2=limx→−2−x−2=−4limx→−2+f(x)=limx→−2+x2−4x+2=limx→−2+(x+2)(x−2)x+2=limx→−2+x−2=−4f(−2)=0



Por consiguiente, f(x) tiene una discontinuidad evitable en el punto x=−2.
Ejemplo


Tomemos la función
f(x)=⎧⎩⎨⎪⎪ex0x+1 si si si x<0x=0x>0



Observamos rápidamente que las subfunciones que definen nuestra función son continuas. Por lo que la función será continua si sus subfunciones conectan correctamente. Puede ser que tengamos problemas en el punto x=0.

Veamos qué ocurre exactamente:
limx→0−f(x)=limx→0−ex=e0=1limx→0+f(x)=limx→0+x+1=0+1=1f(0)=0



Por consiguiente, f(x) tiene una discontinuidad evitable en el punto x=0.
Discontinuidad inevitable (o de salto finito)


Una función f(x) tiene una discontinuidad inevitable en el punto x=a si los límites laterales de la función en este punto no coinciden (y son finitos), es decir:
limx→a−f(x)≠limx→a+f(x)f(a)=Lindependientemente del valor de la función en x=a (del valor de f(a)).



Si nos fijamos con el nombre de "inevitable", es razonable que se llame así ya que a diferencia de las discontinuidades evitables, esta vez al no ser iguales los límites laterales no hay manera de poder conectar las dos ramas de la función. Con un ejemplo veremos claramente lo que está pasando:
Ejemplo


Tomemos la función
f(x)={x+1x−1 si si x≤0x>0



podemos ver que en el cero tenemos:
limx→0−f(x)=limx→0x+1=1limx→0+f(x)=limx→0x−1=−1f(0)=1y al no coincidir los límites, tenemos una discontinuidad inevitable (teniendo incluso que f(0)=1, que significa que tenemos continuidad lateral por la izquierda).



Podemos ver la representación gráfica de la función:


Ejemplo


Tomemos la función
f(x)={exx2 si si x<1x≥1



La función será continua si en el punto x=1 los límites laterales y la función coinciden. Veamos su comportamiento:
limx→1−f(x)=limx→1−ex=elimx→1+f(x)=limx→1+x2=1f(1)=(1)2=1



Por consiguiente, tenemos una discontinuidad inevitable.
Discontinuidad esencial


Una función f(x) tiene una discontinuidad esencial en el punto x=a si se cumplen alguno de los siguientes casos:
Los límites laterales no coinciden.
Alguno de los límites laterales o ambos son infinitos.

Veamos pues exactamente cada caso:
Estamos en el caso anterior, discontinuidad inevitable.
Se cumple que : limx→a−f(x)=±∞ y/o limx→a+f(x)=±∞ y la función está definida en x=a (independientemente de su valor).

En estos casos aparecen las asíntotas verticales. Para más sobre éstas consultar el tema de representación gráfica.

Veamos un ejemplo:
Ejemplo


Tomemos la función
f(x)=⎧⎩⎨1x1 si x≠0 si x=0podemos ver que el cero seguramente tendremos algun problema de continuidad, así que miremos qué pasa con la continuidad de la función en este punto:
limx→0−f(x)=limx→0−1x=10−=−∞limx→0+f(x)=limx→0+1x=10⁺=∞f(0)=1Por lo tanto tenemos una discontinuidad esencial en el punto x=0.



Podemos ver una representación gráfica de la función:



Atención! La función f(x)=1x no presenta discontinuidad esencial ya que la función es continua.

La discontinuidad la tendríamos en el punto x=0, pero éste no es del dominio de la función, así que no se puede definir la discontinuidad.

No obstante, la función sí tiene una asíntota vertical en x=0 y tiene un comportamiento análogo al de la discontinuidad esencial.

3.8- FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALO

Una función es continua en un punto si existe límite en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.

Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.

Continuidad de una función en un punto

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Que el punto x= a tenga imagen.

2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.

Si una función no es continua en un punto x=a, diremos que es discontinua en dicho punto.

Una función es continua por la derecha en un punto si existe el límite por la derecha en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.

Una función es continua por la izquierda en un punto si existe el límite por la izquierda en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.

Nota

Es evidente que si una función es continua por la derecha y por la izquierda en un punto, es continua en dicho punto.

Si una función es continua en un punto, entonces tiene límite en ese punto.

Si una función es continua en un punto , entonces existe un entorno simétrico de x=a en el que los valores que toma f tienen el mismo signo de f(a).

Definición : Discontinuidades.

1.- Una función es discontinua en un punto cuando no existe límite en él o, existiendo, no coincide con el valor de la función en el mismo.

2.- Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite en él y no coincide con el valor de la función en el mismo.

El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera continua en él se llama verdadero valor de la función en el mismo.

3.- Una función tiene una discontinuidad inevitable en un punto cuando existen los límites laterales en él y son distintos. Si f es discontinua en el punto x=a, el valor se llama salto de la función en ese punto, y puede ser finito, si es un número real, o infinito.

Definición : Continuidad en un intervalo.

Una función es continua en un intervalo abierto (a,b) si lo es en cada uno de sus puntos.

Una función es continua en un intervalo cerrado [a,b] si lo es en cada uno de los puntos de (a,b) y además es continua por la derecha en a y por la izquierda en b.

Si una función es continua en un intervalo [a,b] y toma valores de signo contrario en los extremos, entonces existe al menos un punto interior c del intervalo en el que f(c)=0

funciones continuas : son aquellas cuyas graficas pueden dibujarse sin leantar el lapiz del papel.

funcion continua en un punto: el analisis de la definicion de continuidad nos muestra que para ser continua en el punto a, una funcion debe satisfacer las siguientes condiciones.

1.- la funcion f debe estar definida en a ( de modo que f (a) exista).

2.- debe existir el limite de f (x) cuando x tiende a a.

3.- los numeros de las condiciones 1 y 2  deben ser iguales

lim f(x) = f(a)

funcion continua en un intervalo:  se dividen en 2 partes

intervalo abierto: una funcion es cuntinua en un intervalo (a,b) si lo es en cada uno de sus puntos.

estudiar la continuidad de la funcion f(x)

f(x)  raiz 3-x si x >3

13-x” si x< o = que 3

intervalo cerrado: una funcion es continua de un intervalo cerrado [ a, b] si lo es en cada uno de los puntos de (a.b) y ademas lim f(x)= f(a)              lim f(x) = f(b)

                 x-> a+                                x->b-

si f  es continua en un intervalo cerrado [a,b] entonces f  esta acotado en dicho intervalo.

estudiar la continuidad de la funcion:

f (x)  x” si x > 1

           1 si x > = que  1

en el intervalo [0,3]

http://calculomedel.mlblogs.com/3-8-funciones-continuas-y-discontinuas-en-un-punto-y-en-un-intervalo/