3.7 ASÍNTOTAS

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va acercando indefinidamente. Hay tres tipos de asintotas:

Asíntotas horizontales

Ejemplo

Calcular las asíntotas horizontales de la función:

Asíntotas verticales

Consideramos que el resultado del límite es ∞ si tenemos un número real partido por cero.

K son los puntos que no pertenecen al dominio de la función (en las funciones racionales).

Ejemplo

Calcular las asíntotas verticales de la función:

Asíntotas oblicuas

Sólo hallaremos las asíntotas oblicuas cuando no haya asíntotas horizontales.

Ejemplo

Calcular las asíntotas de la función:

Asíntotas horizontales

Asíntotas verticales

Asíntotas oblicuas

3.6 LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES AL INFINITO

• DEFINICION DE VALORES DE FUNCIÓN QUE CRECEN SIN LÍMITE

Sea f una función definida en cada número de algún intervalo I que contiene a, a, excepto posiblemente en a misma. Conforme x se aproxima a a,   crece sin límite lo cual se escribe como

Límite infinito

Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x  a, si fijado un número real positivo K>0 se verifica que f(x)>k para todos los valores próximos a a.

Límite menos infinito

Una función f(x) tiene por límite -∞ cuando x  a, si fijado un número real negativo K < 0 se verifica que f(x) < k para todos los valores próximos a a.

INFORMACION GRACIAS A ALEXIS OBED

3.5 Límites laterales

Para que exista el límite de una función, deben existir los límites laterales y coincidir.

El significado de los signos en la notación para límites laterales se interpreta de la siguiente manera

• x ® a^- significa que x tiende a a tomando valores menores que a, es decir valores que se encuentran a su izquierda.

• x ® a⁺ significa que x tiende a a tomando valores mayores que a, es decir valores que se encuentran a su derecha.

Límite lateral por izquierda  si dado e > 0, $ d > 0 tal que si a - d < x < a Þ

Límite lateral por derecha  si dado e > 0, $ d > 0 tal que si a < x < a + d Þ

Observación. Una función tiene límite si los límites laterales son iguales, es decir, cuando 

3.4 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

El límite de una función en un punto es único. (Se puede decir lo mismo diciendo: Una función no puede tener dos límites diferentes en un mismo punto).

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f + g, en el punto x = a, es l + m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite de la suma es igual a la suma de los límites).

lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f * g, en el punto x = a, es l * m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite del producto es igual al producto de los límites).

lim (f(x).g(x)) = lim f(x) . lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m (distinto de cero), entonces el limite de la función f / g, en el punto x = a, es l / m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite del cociente es igual al cociente de los límites).

lim (f(x)/g(x)) = lim f(x) / lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f g , en el punto x = a, es l m.

lim (f(x))g(x) = lim (f(x))lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f(g(x)) (suponiendo que tenga sentido)  en el punto x = a, es l.

ESTA ES INFORMACIÓN GRACIAS A ALEXIS OBED

3.3 Cálculo de límites

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Es decir: Para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

No podemos calcular  porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a -2.

                3.2 Límite de una función de variable real.

Se le llama función real de variable real a toda la función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R:


f:D————->R


x————->x2.


Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar:
El conjunto inicial o dominio de la función.
El conjunto final o imagen de la función.
La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen.

Así, por ejemplo, la función definida por:

f:R ——–>R


x———>x2.

asigna a cada número real su cuadrado.
Tiene por conjunto origen o campo de existencia todos los números reales, pues dado cualquier número real x, siempre es posible calcular su cuadrado, siendo el resultado otro número real.

Tiene por conjunto imagen todos los números reales positivos, puesto que el cuadrado de un número siempre es positivo:

lim(f)=R+.

La regla de asignación es: “Dado cualquier número real x, calcular su cuadrado para obtener la imagen”.


Aquí un vídeo para que puedas comprender mejor:

Esta es información gracias a Víctor Isaac Gómez Sánchez

Unidad 3. limites y continuidad.

3.1 Limite De Una Sucesion

Límites de una Sucesión

El límite de una sucesión particular es generalmente un número o un punto definido L, con la condición que todos los términos de esa sucesión particular estén muy cerca de L para grandes cifras de n. En caso de que el límite esté presente, se dice entonces que la sucesión es convergente y converge en el punto definido L. En el caso complementario, se dice que la sucesión es divergente.

Matemáticamente la definición puede ser demostrada suponiendo an} sea la sucesión y l un número real. Si por cada ε › 0 entonces encontramos m N, tal que , n N, es l y se escribe an=l. Esto se lee como: Como n tiende al infinito, tiende a l.

Ademas, si para una sucesión an se podemos encontrar un numero M positivo, tal que, | an | M n N entonces la sucesión { an } se dice que es cerrada.

Similarmente, las sucesiones pueden estar creciendo o decreciendo.

Algunas de las propiedades generales de los Límites de una Sucesión incluyen:

1).Los Límites de las sucesiones de origen convergentes son únicos.

2). Una sucesión de origen convergente es siempre cerrada y viceversa.

3). En el caso de las sucesiones {an} n 1, junto con {bn} n 1 son de origen convergente y x e y son números reales, en ese caso, la sucesión { xan + ybn }n 1 es también convergente.

4). Similarmente, si las sucesiones {an} n 1 junto con {bn} n 1 son de origen convergente y x e y son números reales, en ese caso, la sucesión { xan . ybn }n 1 es también convergente. Obtenemos,

  { an . bn }=    an  .    bn 

5). En el caso de la sucesión {an}, n 1 tiene un origen convergente con la condición que an 0 y an 0 para n 1, entonces la secuencia del tipo es también convergente.

Los límites de las sucesiones estándares pueden ser útiles para facilitar el cálculo. Algunos de estos son:

1). = 0

2). = 0 | r | < 1.

3). = 0 donde sn = a + ar + ar2 + …..+ Este límite es conocido como serie infinita geométrica con el primer término “a” y la razón común “r”.

Para captar efectivamente el concepto de las propiedades y las características de los límites de sucesiones, observemos un ejemplo en el que se requiere demostrar que para un número x, donde 0 <x <1

  xn = 0

Dado que 0 < x < 1, por tanto la sucesión xn es cerrada y decreciente. De acuerdo a la segunda propiedad citada arriba, esta es convergente. Entonces,

  xn = L

Por lo tanto, tenemos que demostrar L = 0

Como, xn+1 es parte de la sucesión xn , entonces, xn+1 = L

Ahora, dado que xn+1 = x xn

De las propiedades citadas,

  xn+1 = x.    xn

  L = x. L

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